Question

13．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；
①求此抛物线的函数解析式；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．

Answer 1

分析 （1）①只需运用待定系数法就可解决问题；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，从而可得AB为直径，根据垂径定理可得OD=OC，即可得到D（0，4），然后运用待定系数法可求得直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，设M（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），则E（x，-$\frac{1}{2}$x+4），从而得到ME=-$\frac{1}{4}$x²+x+8，运用割补法可得S_△BDM=S_△DEM+S_△BEM=-（x-2）²+36，然后根据二次函数的最值性就可求出△BDM的面积的最大值；
（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x²+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x₁，0），B（x₂，0），则OA=-x₁，OB=x₂，且_x1、x₂是方程x²+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b取何值，点D的坐标均不改变．

解答 解：（1）①∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．
∵A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∴AB=10，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴AB为直径．
∵CD⊥AB，
∴OD=OC，
∴D（0，4）．
设直线BD的解析式为y=mx+n．
∵B（8，0），D（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
设M（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），则E（x，-$\frac{1}{2}$x+4），
∴ME=（-$\frac{1}{2}$x+4）-（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4）=-$\frac{1}{4}$x²+x+8，
∴S_△BDM=S_△DEM+S_△BEM
=$\frac{1}{2}$ME（x_E-x_D）+$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_E）=$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_D）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{4}$x²+x+8）×8=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．
∵0＜x＜8，
∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；

（2）连接AD、BC，如图2．
若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x²+bx-4，
则C（0，-4），OC=4．
设点A（x₁，0），B（x₂，0），
则OA=-x₁，OB=x₂，且x₁、x₂是方程x²+bx-4=0的两根，
∴OA•OB=-x₁•x₂=-（-4）=4．
∵A、D、B、C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，
∴△ADO∽△CBO，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴OC•OD=OA•OB=4，
∴4OD=4，
∴OD=1，
∴D（0，1），
∴无论b取何值，点D的坐标均不改变．

点评 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理的逆定理、根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式等知识，运用割补法及配方法是解决第（1）②小题的关键，运用根与系数的关系及相似三角形的性质是解决第（1）②小题的关键．