Question

4．如图，点M，A，H重合，点C在射线NA上，连接BC交圆O于点D，若点D为BC的中点．
（1）求证：BN=CN；
（2）过点N作圆O的切线交BC的延长线于点K，若CK=CD，AB=2$\sqrt{6}$，求KN的长．

Answer 1

分析 （1）如图1所示，连接ND．首先证明∠BDN=90°，从而可得到DN是BC的垂直平分线；
（2）如图2所示，过点C作CM⊥BN，垂足为M．首先证明△CMN≌△BAN，从而得到CM=AB=2$\sqrt{6}$，然后再证明△BCM∽△BKN，由相似三角形的性质可求得KN的长．

解答 解：（1）如图1所示，连接ND．

∵BN是圆O的直径，
∴∠BDN=90°．
∴DN⊥BC．
∵D是BC的中点，
∴DN是BC的垂直平分线．
∴BN=CN．
（2）如图2所示，过点C作CM⊥BN，垂足为M．

∵BN为圆O的直径，
∴∠BAN=90°．
∵CM⊥BN，
∴∠CMN=90°．
∴∠CMN=∠BAN．
在△CMN和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMN=∠BAN}\\{∠BNA=∠MNC}\\{BN=CN}\end{array}\right.$，
∴△CMN≌△BAN．
∴CM=AB=2$\sqrt{6}$．
∵NK是圆O的切线，
∴ON⊥NK．
∴CM∥KN．
∴△BCM∽△BKN．
∴$\frac{CM}{NK}=\frac{BC}{BK}=\frac{2}{3}$，即$\frac{2\sqrt{6}}{NK}=\frac{2}{3}$．
∴NK=3$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、相似三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定，掌握本题辅助线的作法是解题的关键．