Question

19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$与x轴交于点A，与直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）点B关于x轴的对称点为点C，求△AOC的面积；
（3）过点B作BD⊥x轴于点D，动点P从点D出发，在射线DB上以每秒1个单位长度的速度向下运动，运动的时间为t秒，连接OP，将线段OP以点O为旋转中心，逆时针旋转90°得线段OP′，连接AP′，△AP′O的面积为S，在点P运动过程中（不包含点D），S的值是否与t的值有关？如果有关，请直接写出S与t的函数关系式；如果无关，请直接写出S的值．

Answer 1

分析 （1）解两直线的解析式组成的方程组即可求解；
（2）在y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$中令y=0，解得x的值，即可求得A的坐标，然后求得P'的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）作P'E⊥x轴于点E，证明△OPD≌△OP'E，则P'E=OD，根据三角形的面积公式即可求得S．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{5}x-\frac{3\sqrt{3}}{5}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则B的坐标是（2，-$\sqrt{3}$）；
（2）在y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$中令y=0，解得：x=-3，
则A的坐标是（-3，0），
则OA=3．
C的坐标是（2，$\sqrt{3}$），
则S_△AOC=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）作P'E⊥x轴于点E．
∵P的坐标是（2，-$\sqrt{3}$），PD⊥x轴，
∴D的坐标是（2，0），OD=2．
∵∠POP'=90°，即∠POD+∠P'OE=90°，
又∵直角△ODP中，∠POD+∠OPD=90°，
∴∠P'OE=∠OPD，
∴在△OPD和△OP'E中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ODP=∠OEP′}\\{∠P′OE=∠OPD}\\{OP=OP′}\end{array}\right.$，
∴△OPD≌△OP'E，
∴P'E=OD=2．
∴S=S_△AP'O=$\frac{1}{2}$OA•P'E=$\frac{1}{2}$×3×2=3．
即S与t无关，S的值是3．

点评 本题是全等三角形的判定以及图形的旋转，一次函数的综合应用，正确作出辅助线，证明△OPD≌△OP'E是关键．