Question

【题目】平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：
（1）这n条直线共有多少个交点？
（2）这n条直线把平面分割为多少块区域？

Answer 1

【答案】
（1）

1条直线，0个交点

2条直线，1个交点

3条直线，1+2个交点

4条直线，1+2+3个交点

5条直线，1+2+3+4个交点

故n条直线，1+2+3+4+…+（n﹣1）个交点

∴n条直线，共有个交点；

（2）

1条直线，将平面分成2个区域

2条直线，将平面分成2+2个区域

3条直线，将平面分成2+2+3个区域

4条直线，将平面分成2+2+3+4个区域

5条直线，将平面分成2+2+3+4+5个区域

故n条直线，将平面分成2+2+3+4+5+…+n个区域

∴n条直线，将平面分成+1个区域．

【解析】（1）1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3条直线，1+2个交点，4条直线，1+2+3个交点，故n条直线，1+2+3+4+…+（n﹣1）个交点；
（2）1条直线，将平面分成2个区域，2条直线，将平面分成2+2个区域，3条直线，将平面分成2+2+3个区域，4条直线，将平面分成2+2+3+4个区域，故n条直线，将平面分成2+2+3+4+5+…+n个区域．
【考点精析】利用平行公理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行公理――平行线的存在性与惟一性;经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行;如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．