Question

【题目】定义：对于给定的一个二次函数，其图象沿x轴翻折后，得到的图象所对应的二次函数称为原二次函数的横翻函数．

（1）直接写出二次函数y＝2x2的横翻函数的表达式．

（2）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，1）、B（2，6）．

①求b、c的值．

②求二次函数y＝x2+bx+c的横翻函数的顶点坐标．

③若将二次函数y＝x2+bx+c的图象位于A、B两点间的部分（含A、B两点）记为G，则当二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c+m与G有且只有一个交点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2 （2）①b=2,c=-2 ②（﹣1，3） ③m＝﹣6，2＜m≤12

【解析】

（1）根据横翻函数的定义解答.

(2)代入已知点，先求出a,b，可得函数表达式.再求出横翻函数的表达式，随之即可求顶点坐标.将A，B代入函数，再根据题意即可求m的范围.

解：（1）由横翻函数的定义知，二次函数y＝2x2的横翻函数的表达式是y＝﹣2x2；

（2）①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，1）、B（2，6），

∴

解得

∴b的值为2，c的值为﹣2．

②∵二次函数y＝x2+bx+c的表达式为y＝x2+2x﹣2，

∴它的横翻函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+2

∵y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，

∴二次函数y＝x2+bx+c的横翻函数的顶点坐标为（﹣1，3）．

③点A（﹣3，1）代入二次函数y＝﹣x2﹣2x+2+m，得﹣9+6+2+m＝1，解得m＝2；

点B（2，6）代入二次函数y＝﹣x2﹣2x+2+m，得﹣4﹣4+2+m＝6，解得m＝12；

当顶点重合时，m＝﹣6，

则m满足的条件为m＝﹣6，2＜m≤12．