Question

7．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n	2	3	4	5	…
a	22-1	32-1	42-1	52-1	…
b	4	6	8	10	…
c	22+1	32+1	42+1	52+1	…

（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=n²-1，b=2n，c=n²+1．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数3²+4²=5²，5²+12²=13²，7²+24²=25²，9²+40²=41²，分析其中的规律，写出第五组勾股数11²+60²=61²．

Answer 1

分析 （1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n²，加减1，即可得出答案；
（2）利用完全平方公式计算出a²+b²的值，以及c²的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
（3）①这些式子每个都呈a²+b²=c²（a，b，c为正整数）的形式．②每个等式中a是奇数，b为偶数（实际上还是4的倍数），c奇数．③c=b+1．④各个式子中，a的取值依次为3，5，7，9，11，是连续增大的奇数．⑤各个式子中，b的取值依次为4，12，24，40，所以第5个式子为11²+60²=61²．

解答 解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2²-1，b=4，c=2²+1，
n=3时，a=3²-1，b=2×3，c=3²+1，
n=4时，a=4²-1，b=2×4，c=4²+1，
…
∴a=n ²-1，b=2n，c=n ²+1．

（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a²+b²=（n²-1）²+4n²=n⁴+2n²+1，
c²=（n²+1）²=n⁴+2n²+1，
∴a²+b²=c²，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

（3）由分析得出：第5组的式子为：11²+60²=61²．
故答案为：11²+60²=61²．

点评 此题主要考查了勾股数，以及勾股定理，关键是找出数据之间的变化规律．