Question

1．已知抛物线C₁：y=-x²-2ax-2x-a²-3a+1的顶点在直线l上，
（1）求直线l的解析式．
（2）求证：不论a为何值，抛物线与直线l的交点间的距离恒为定值．
（3）若C₁顶点C在y轴上，且这时的抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），在C₁上是否存在两点P、Q，设PQ交线段AC于H点，使∠AHQ=2∠ACO且PQ=2AC？若存在，求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，设顶点坐标为（x，y），从而可用a的代数式表示x、y，消去a，就可得到x与y的关系，从而解决问题；
（2）设抛物线与直线l的交点分别为E（x₁，x₁+3），F（x₂，x₂+3），如图1，将直线l与抛物线联立，消去y，求出x，就可得到两交点的横坐标，进而得到两交点横坐标及纵坐标的差，然后运用两点之间的距离公式就可解决问题；
（3）设PQ与y轴交于点M，交x轴交于点N，如图2，易求出A、C两点的坐标，从而可求得AC=2$\sqrt{3}$，∠CAO=60°，进而可求得∠ACO=30°，∠AHQ=60°，∠ANH=60°，设ON=n，则有OM=$\sqrt{3}$n，从而可求得直线PQ的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$n．设点P、Q的横坐标分别为p、q，则点P、Q的纵坐标分别为-$\sqrt{3}$p+$\sqrt{3}$n、-$\sqrt{3}$q+$\sqrt{3}$n．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}n}\\{y=-{x}^{2}+3}\end{array}\right.$，消去y，得x²-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$n-3=0①，根据根与系数的关系可得p+q=$\sqrt{3}$，pq=$\sqrt{3}$n-3，然后运用两点之间的距离公式可求出n，然后求出方程①的解，即可得到p、q，就可求出点P、点Q的坐标．

解答 解：（1）y=-x²-2ax-2x-a²-3a+1=-（x+a+1）²+2-a，
∴抛物线的顶点坐标为（-a-1，2-a），
设抛物线的顶点坐标为（x，y），
则有x=-a-1，y=2-a，
∴y-x=（2-a）-（-a-1）=3，
∴y=x+3，
∴直线l的解析式为y=x+3；

（2）证明：设抛物线与直线l的交点分别为E（x₁，x₁+3），F（x₂，x₂+3），如图1，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-{x}^{2}-2ax-2x-{a}^{2}-3a+1}\end{array}\right.$，
消去y得：x²+（2a+3）x+a²+3a+2=0，
∴（x+a+1）（x+a+2）=0，
∴x₁=-a-1，x₂=-a-2，
∴x₁-x₂=1，
根据两点之间距离公式可得：
EF=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}+3-{x}_{2}-3）^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴不论a为何值，抛物线与直线l的交点间的距离恒为定值；

（3）设PQ与y轴交于点M，交x轴交于点N，如图2，

∵C₁顶点C在y轴上，
∴-a-1=0，即a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3，
∴顶点C的坐标为（0，3），OC=3．
由y=0可得0=-x²+3，
解得x₁=-$\sqrt{3}$，x₂=$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
在Rt△AOC中，tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CAO=60°，
∴∠ACO=90°-60°=30°，
∴∠AHQ=2∠ACO=60°，
∴∠ANH=180°-∠CAO-∠AHQ=60°．
设ON=n，则OM=ON•tanONM=n•tan60°=$\sqrt{3}$n，
∴M（0，$\sqrt{3}$n），M（n，0）．
可设直线PQ的解析式为y=kx+$\sqrt{3}$n，（n≠0）
则有0=kn+$\sqrt{3}$n，
解得k=-$\sqrt{3}$，
∴直线PQ的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$n．
设点P、Q的横坐标分别为p、q，
则点P、Q的纵坐标分别为-$\sqrt{3}$p+$\sqrt{3}$n、-$\sqrt{3}$q+$\sqrt{3}$n．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}n}\\{y=-{x}^{2}+3}\end{array}\right.$，
消去y，得-x²+3=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$n，
整理得x²-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$n-3=0①，
∴p+q=$\sqrt{3}$，pq=$\sqrt{3}$n-3．
∵PQ=2AC=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴PQ²=（p-q）²+（-$\sqrt{3}$p+$\sqrt{3}$n+$\sqrt{3}$q-$\sqrt{3}$n）²=48，
∴（p-q）²=（p+q）²-4pq=3-（$\sqrt{3}$n-3）=12，
解得n=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
此时方程①为x²-$\sqrt{3}$x-$\frac{9}{4}$=0，
解得p=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，q=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴点P的坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{4}$），点Q的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题主要考查了用配方法求抛物线的顶点、抛物线与x轴的交点、两点之间的距离公式、特殊角的三角函数值、解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式、抛物线与直线的交点坐标等知识，对运算能力的要求比较高，将两点之间的距离公式与根与系数的关系相结合，是解决本题的关键．