Question

4．C为线段AB上一点，在线段AB的同侧分别作等边三角形△ACD、△BCE，连接AE，BD相交于F，连接CF，若S_△DEF=12$\sqrt{3}$，则CF=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，作EH⊥BD于H．首先证明∠DFA=∠AFC=∠CFB=60°，再证明△DFC∽△CFE，推出$\frac{DF}{CF}$=$\frac{CF}{EF}$，推出CF²=DF•EF，由S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DF•EF•sin60°=12$\sqrt{3}$，推出DF•EF=48，可得CF²=48，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作EH⊥BD于H．

∵△ADC，△EBC都是等边三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，∵∠AOC=∠DOF，
∴∠DFO=∠OCA=60°，
∴△DOF∽△AOC，
∴$\frac{DO}{AO}$=$\frac{OF}{OC}$，
∴$\frac{DO}{OF}$=$\frac{AO}{OC}$，
∵∠AOD=∠FOC，
△DOA∽△FOC，
∴∠ADO=∠OFC=60°，∠1=∠2，
∴∠CFB=60°，
∴∠DFC=∠EFC=120°，
∵∠ECB=∠DAC=60°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴△DFC∽△CFE，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{CF}{EF}$，
∴CF²=DF•EF，
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DF•EF•sin60°=12$\sqrt{3}$，
∴DF•EF=48，
∴CF²=48，
∵CF＞0，
∴CF=4$\sqrt{3}$．
故答案为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．