Question

（12分）一位同学拿了两块45º三角尺△MNK和△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝4．

⑴如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为______，周长为______．
⑵将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45º，得到图2，此时重叠部分的面积为____________，周长为____________．
⑶如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为___________．
⑷在图3的情况下，若AD＝1，求出重叠部分图形的周长．

Answer 1

（1）4； （2）4；8 （3）4 （4）

试题分析：（1），，所以，
（2）阴影部分的正方形边长为，则，
（3）

如图，做ME⊥AC，MF⊥BC，又，，所以，所以，又，所以△DME≌△GMF，所以阴影部分面积实际上是正方形EMFC的面积，即面积为4
（4）根据（3）的结论可知，，因为，所以，，，所以，，所以，所以阴影部分的周长为
点评：本题通过将阴影部分拆分重组，可以求出复杂几何的面积、周长，学生需要多做此类题目，掌握好规律，以求举一反三