Question

12．如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=$\sqrt{2}$OA，OE=$\sqrt{2}$OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′．连结AE′、BF′．
（1）如图2，探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；
（2）如图3，当α=45°，AB=4时，求：①∠AE′O的度数；②BF′的长度．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AOE′≌△BOF′，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（2）①当α=45°时，OF′=OE′=$\sqrt{2}$OA，∠E′OF′=90°，所以A是等腰直角三角形OE′F′斜边中点，∠AE′O=45°；
②易证四边形AOBF′是正方形，BF′=OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，
又∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，则OE′=OF′，
在△AOE′和△BOF′中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE′=OF′}\\{∠AOE′=∠BOF′}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOE′≌△BOF′
∴AE′=BF′；
（2）①当α=45°时，OF′=OE′=$\sqrt{2}$OA，∠E′OF′=90°，
∴△OE′F′是腰直角三角形，A为E′F′中点，
∴∠AE′O=45°；
②∵△AOE′≌△BOF′，
∴∠BF′O=∠AE′O=45°，
∵∠OF′A=45°，
∴∠BF′A=90°，
∵∠BF′A=∠F′AO=∠AOB=90°，OA=OB，
∴四边形AOBF′是正方形，
∴BF′=OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练的运用旋转的性质和全等三角形的证明方法是解决问题的关键．