Question

17．如图，点M（-3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，$\frac{65}{6}$）
• B． （$\sqrt{7}$，11）
• C． （2，2$\sqrt{31}$）
• D． （$\frac{8}{5}$，$\frac{56}{5}$）

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，根据M的坐标求得直线OM的斜率-$\frac{4}{3}$，进一步得出直线AC的斜率为$\frac{3}{4}$，通过证得△COE≌△OAD，得出CE=OD，OE=AD，所以设A（a，b），则C（-b，a），然后根据待定系数法求得直线AC的斜率为$\frac{b-a}{a+b}$，从而得出$\frac{b-a}{a+b}$=$\frac{3}{4}$，整理得b=7a，然后在RT△AOD中，根据勾股定理得出（7a）²+a²=128，解得a=$\frac{8}{5}$，b=$\frac{56}{5}$．

解答 解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
设直线OM的解析式为y=kx，
∵点M（-3，4），
∴4=-3k，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∵四边形ABCO是正方形，
∴直线AC⊥直线OM，
∴直线AC的斜率为$\frac{3}{4}$，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°
∴∠COE=∠OAD，
在△COE和△OAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠OAD}\\{∠CEO=∠ODA=90°}\\{OC=OA}\end{array}\right.$
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴CE=OD，OE=AD，
设A（a，b），则C（-b，a），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{am+n=b①}\\{-bm+n=a②}\end{array}\right.$
解得m=$\frac{b-a}{a+b}$，
∴$\frac{b-a}{a+b}$=$\frac{3}{4}$，
整理得，b=7a，
∵正方形面积为128，
∴OA²=128，
在RT△AOD中，AD²+OD²=OA²，即（7a）²+a²=128，
解得，a=$\frac{8}{5}$，
∴b=7a=7×$\frac{8}{5}$=$\frac{56}{5}$，
∴A（$\frac{8}{5}$，$\frac{56}{5}$），
故选D．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据直线AC的斜率列出方程是本题的关键．