Question

20．如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长交AB延长线于点F．连接CF、BD、BE
（1）求证：∠AFD=∠EBC；
（2）若E为△BCD的重心，求∠ACF的度数．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可证明△CBE≌△CDE，可得∠CDE=∠EBC，再结合平行线的性质可证得∠AFD=∠EBC；
（2）设DF交BC于点P，AC交BD于点O，可证明△DCP≌△FBP，可证明四边形BFCD为平行四边形，结合AC⊥BD，可求得∠ACF=90°．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴DC=BC，∠DCE=∠BCE，
在△DCE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BC}\\{∠DCE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC=∠EDC，
又∵AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC，
∴∠AFD=∠EBC；
（2）解：如图，设DF交BC于点P，AC交BD于点O，

∵E为△BCD的重心，
∴P为BC中点，
∴BP=CP，
在△CPD和△BPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDP=∠PFB}\\{∠CPD=∠BPF}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△BPF（AAS），
∴DP=FP，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∴FC∥BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACF=∠AOB=90°．

点评 本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定和性质，在（1）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中证明四边形BFCD为平行四边形是解题的关键，注意灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS和HL．