练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    15．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE．
    （1）依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
    （2）若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB．将△CDE绕点D    顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△C′DE′，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′．
    ①如图2，当α=30°时，连接BC′．证明：EF=BC′；
    ②如图3，点M为DC中点，点P为线段C′E′上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？

    分析 （1）根据题画图，易证AC是BD的垂直平分线，得到ED=EB=BD，即可证明△BDE为等边三角形；
    （2）①易证∠EDB=∠FDC′=60°，∠EDF=BDC′，又DE=DB，DF=DC′于是△EDF≌△DBC′，得出结论；
    ②当E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共线时，PM有最小值．当点P与点E′重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值．

    解答 解：（1）补全图形，如图1所示； 
    证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD，
    ∴EB=ED，
    又∵ED=BD，
    ∴EB=ED=BD，
    ∴△EBD是等边三角形；
    （2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC
    又∵点C与点F关于BD对称，
    ∴四边形BCDF为正方形，
    ∴∠FDC=90°，CD=FD，
    ∵∠CDC′=α=30°，
    ∴∠FDC′=60°，
    由（1）△BDE为等边三角形，
    ∴∠EDB=∠FDC′=60°，ED=BD，
    ∴∠EDF=∠BDC′，
    又∵△E′DC′是由△EDC旋转得到的，
    ∴C′D=CD=FD，
    ∴△EDF≌△DBC′（SAS），
    ∴EF=BC′；
    ②线段PM的取值范围是：$\sqrt{2}-1≤PM≤2\sqrt{2}+1$．
    设射线CA交BD于点O，
    I：如图3（1）
    当E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共线时，PM有最小值．
    此时DP=DO=$\sqrt{2}$，DM=1，
    ∴PM=DP-DM=$\sqrt{2}-1$，
    II：如图3（2），
    当点P与点E′重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值．
    此时DP=DE′=DE=DB=$2\sqrt{2}$，DM=1，
    ∴PM=DP+DM=$2\sqrt{2}+1$，
    ∴线段PM的取值范围是：$\sqrt{2}-1≤PM≤2\sqrt{2}+1$．

    点评 本题主要考查了图形的旋转变换、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、以及图形中的最值问题的综合运用，第三小题通过画图找到极限位置是解决问题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    4．有以下结论：
    ①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的两条弧是等弧．其中错误的有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    5．（1）如果两个有理数ab满足关系式（a-1）（b-1）＜0，那么它们与1的大小关系如何，能判断吗？若能判断，请说明理由；若不能判断，请举例说明．
    （2）如果两个有理数ab满足关系式（a-1）（b-1）＞0，那么他们一定大于1吗？若能判断，请说明理由，若不能判断，试问再加什么条件后，能使它们都大于1．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．如图，△ABC三个顶点均在格点上，根据要求画图．
    （1）在图1中△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′；
    （2）在图2作△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE=4，CE=2，BC=6$\sqrt{3}$，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，求tanα的取值范围（　　）
    A．$\sqrt{3}$≤tanα＜$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$B．$\frac{3\sqrt{3}}{4}$＜tanα＜$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$C．tanα=$\sqrt{3}$D．$\frac{3\sqrt{3}}{4}$＜tanα＜3$\sqrt{3}$

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    20．如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长交AB延长线于点F．连接CF、BD、BE
    （1）求证：∠AFD=∠EBC；
    （2）若E为△BCD的重心，求∠ACF的度数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．如图，点A，B，C在一个已知圆上，通过一个基本的尺规作图作出的射线AP交已知圆于点D，直线OF垂直平分AC，交AD于点O，交AC于点E，交已知圆于点F．
    （1）若∠BAC=50°，则∠BAD的度数为25°，∠AOF的度数为65°；
    （2）若点O恰为线段AD的中点．
    ①求证：线段AD是已知圆的直径；
    ②若∠BAC=80°，AD=6，求弧DC的长；
    ③连接BD，CD，若△AOE的面积为S，则四边形ACDB的面积为8S．（用含S的代数式表示）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，先把△ABC沿x轴翻折，再把所得的图形沿y轴翻折，得到△A1B1C1
    （1）画出△A1B1C1（保留画图痕迹）并说明△ABC和△A1B1C1具有怎样的对称关系？
    （2）若以坐标原点O为圆心的圆与直线AC相切，则该圆的半径长为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    5．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
    A．x（x+1）=1035B．$\frac{1}{2}$x（x+1）=1035C．x（x-1）=1035D．$\frac{1}{2}$x（x-1）=1035

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案