Question

8．若$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$，对任意自然数n都成立，求a、b的值．

Answer 1

分析 先把等式的右边通分，即可得出关于a、b的方程组，求出即可．

解答 解：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$，
$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a（2n+1）+b（2n-1）}{（2n-1）（2n+1）}$，
$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{（2a+2b）n+（a-b）}{（2n-1）（2n+1）}$，
∵$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$，对任意自然数n都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+2b=0}\\{a-b=1}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了分式的加减的应用，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．