如图1.在平面直角坐标系中.点O为坐标原点.直线y=kx+4k与x轴交于点A.与y轴交于点B.以AO.BO为邻边作矩形AOBC.其面积是8．(1)求直线AB的解析式,(2)如图2.点P从点O出发.沿线段OA向终点A运动.速度为每秒2个单位长度.点Q从点B出发.沿线段BO向终点O运动.速度为每秒1个单位长度.连接PQ.P.Q两点同时出发.运动时间为t秒.当t为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+4k与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AO、BO为邻边作矩形AOBC，其面积是8．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P从点O出发，沿线段OA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点B出发，沿线段BO向终点O运动，速度为每秒1个单位长度，连接PQ，P、Q两点同时出发，运动时间为t秒，当t为何值时，△CPQ的面积为$\frac{13}{4}$；
（3）如图3，在（2）的条件下，当t=1时，P、Q两点同时停止运动，在x轴上是否存在点M，使得∠MQP=45°？若存在，求出点M坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）根据矩形的面积公式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据图形割补法，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据勾股定理，勾股定理逆定理，可得∠NPQ=90°，∠PON=45°，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答解：（1）由直线y=kx+4k与x轴交于点A，与y轴交于点B，得
当x=0时，y=4k，即B点坐标为（0，4k），
当y=0时，kx+4k=0，解得x=-4，即（-4，0），
由AO、BO为邻边作矩形AOBC，其面积是8，得
4×4k=8，解得k=$\frac{1}{2}$，
直线AB的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2；
（2）由点P从点O出发，沿线段OA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点B出发，沿线段BO向终点O运动，速度为每秒1个单位长度，得
PO=2t，AP=4-2t，QB=t，OQ=2-t．
由S_△CPQ=S_矩形ACBO-S_△ACP-S_△POQ-S_△BCQ=$\frac{13}{4}$，
8-$\frac{1}{2}$（4-2t）×2-$\frac{1}{2}$•2t（2-t）-$\frac{1}{2}$×4t=$\frac{13}{4}$，
解得t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$，
当t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$时，△CPQ的面积为$\frac{13}{4}$；
（3）存在，点M坐标为（-$\frac{1}{3}$，0）
如图：

t=1时，P（-2，0），Q（0，1），
取N（-1，-2），
PQ²=5，PN²5，BN²=10，
PQ²+PN²=NQ²，PQ=PN．
∠NPQ=90°，∠PON=45°．
设NQ的解析式为y=kx+b，将Q、N的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k=3}\end{array}\right.$，
NQ的解析式为y=3x+1，
当y=0时，3x+1=0，
解得x=-$\frac{1}{3}$，
即M（-$\frac{1}{3}$，0）

点评本题考查了一次函数综合题，利用举行的面积得出B点坐标是解题关键；利用图形割补法得出关于t的方程是解题关键；利用勾股定理、勾股定理的逆定理得出∠PQN是解题关键．

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