Question

【题目】已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4．

(1)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，求二次函数的表达式；

(2)在(1)的条件下，设二次函数的图象与y轴交于点C，且在同一平面内，以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) y=x2+3x+2；(2) P点坐标为：（-1，2）或（1，2）或（-3，-2）．

【解析】

(1)利用根与系数的关系用m表示出x12+x22，然后列出方程，再求解即可；
(2)先求出A，B，C，三点的坐标，然后分三种情况讨论点P的坐标即可．

(1)由根与系数的关系得，x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4，
∵x12+x22=5，
∴（x1+x2）2-2x1x2=5，
∴（2m-1）2-2（m2+3m+4）=5，
整理得，m2-5m-6=0，
解得m1=-1，m2=6，

∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15＞0，
解得

∴m2=6不符合题意，舍去.

所以，二次函数的解析式为y=x2+3x+2；

(2)由(1)可知二次函数的解析式为y=x2+3x+2，
所以，点C的坐标为（0，2），并且

∴当时，x1=-2，x2=-1，

∴函数与x轴的交点坐标为（-2， 0），（-1，0）
∴①当如图一所示时：

P点坐标为：（-1，2）

②当如图二所示时：

P点坐标为：（1，2）

③当如图三所示时：

P点坐标为：（-3，-2）．