Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6交x轴于点A，交y轴于点B．点P，点Q同时从原点出发作匀速运动，点P沿x轴正方向运动，点Q沿OB→BA方向运动，并同时到达点A．点P运动的速度为1厘米/秒．
（1）求点Q运动的速度；
（2）当点Q运动到线段BA上时，设点P运动的时间为x（秒），△POQ的面积为y（平方厘米），那么用x的代数式表示AQ=______，并求y与x的函数关系式；
（3）若将（2）中所得函数的自变量x的取值范围扩大到任意实数后，其函数图象上是否存在点M，使得点M与该函数图象和x轴的两个交点所组成的三角形面积等于△AOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-34x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（8，0），B（0，6）
∴OA=8，0B=6，AB=10
∴点Q运动的速度=（6+10）÷（8÷1）=2厘米/秒；

（2）AQ=10+6-2X=16-2X，
作QE⊥x轴于点E，则QE∥y轴，
∴△AQE∽△ABO
∴QE：6=AQ：AB
∴QE=AQ
∴y=•OP•QE=•x•（16-2x）=-x 2+x；

（3）设M（a，b）
令y=0，则0=-x 2+x
∴x=0或x=8
即函数图象与x轴交于（0，0），（8，6）
∵点M与该函数图象和x轴的两个交点所组成的三角形面积等于△AOB的面积
∴|b|××8=×6×8
∴b=±6
当b=6时，6=-x 2+x，所以x=4±；
当b=-6时，-6=-x 2+x，所以x=4．
所以M（4±，6），（4，-6）．
分析：（1）因为直线y=-34x+6交x轴于点A，交y轴于点B，所以可求出A（8，0），B（0，6），进而求出线段OA=8，0B=6，AB=10，利用速度=路程÷时间即可解决问题；
（2）AQ=10+6-2X=16-2X，要求y与x的函数关系式，可作QE⊥x轴于点E，则QE∥y轴，得到△AQE∽△ABO，进而可得到QE：6=AQ：AB，QE=AQ；又因y=•OP•QE代入相关数据即可求解；
（3）可设M（a，b），令y=0，则可求出函数图象与x轴的交点（0，0），（8，6），利用点M与该函数图象和x轴的两个交点所组成的三角形面积等于△AOB的面积，可得到|b|××8=×6×8，b=±6，然后分情况讨论：当b=6时，6=-x 2+x；所以x=4±；当b=-6时，-6=-x 2+x；所以x=4，所以M（4±，6），（4，-6）．
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用方程、相似三角形的性质即可解决问题．