Question

如图，在平面直角坐标系xoy内，点P在直线上（点P在第一象限），过点P作PA⊥x轴，垂足为点A，且．
（1）求点P的坐标；　
（2）如果点M和点P都在反比例函数图象上，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥x轴，垂足为点A．
∴∠PAO=90°，
∵点P在直线上（点P在第一象限），
∴设P（2x，x），其中x＞0，
∴AO=2x，PA=x，
∵AO²+AP²=OP²，
∴，
解得：x=2
∴P（4，2）；

（2）∵点P在反比例函数的图象上，
∴，
∴k=8，
∴，
在Rt△PAO中，∠PAO=90°，PA=2，AO=4，
∵∠MNA=90°，
当△MNA和△APO全等时，分以下两种情况：
①点N在点A的左侧时，MN=AO=4，AN=2，
∴ON=OA-AN=4-2=2，
∴M（2，4）．且点M在反比例函数的图象上．
②点N在点A的右侧时，AO=MN=4，AN=2，
∴ON=AN+AO=4+2=6．
∴M（6，4），但点M不在反比例函数的图象上，
综合①②，满足条件的点M（2，4）．
分析：（1）根据P点在直线上，可设P（2x，x），其中x＞0，再根据勾股定理可得AO²+AP²=OP²，即，解得x=2即可计算出P点坐标．
（2）根据P点坐标计算出反比例函数解析式，当△MNA和△APO全等时，分以下两种情况：①点N在点A的左侧时，②点N在点A的右侧时，分别计算出M点坐标，再讨论是否在反比例函数图象上即可．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合得出是解题关键．