Question

如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．
（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得求出∠AOC，∠ABC，再根据邻补角的定义求出∠BAM即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，再根据角平分线的定义可得∠AOF=2∠AOB，从而得到比值不变；
（3）设∠OBA=x，表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和定理表示出∠AOB、∠COE，再根据角平分线的定义根据∠AOB+∠COE=

1

2

∠AOC列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵OM∥CN，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°，
∠ABC=180°-∠OAB=180°-108°=72°，
又∵∠BAM=∠180°-∠OAB=180°-108°=72°，
∴与∠AOC相等的角是∠AOC，∠ABC，∠BAM；

（2）∵OM∥CN，
∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，
∵OB平分∠AOF，
∴∠AOF=2∠AOB，
∴∠OFC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=

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2

；

（3）设∠OBA=x，则∠OEC=2x，
在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-x-108°=72°-x，
在△OCE中，∠COE=180°-∠C-∠OEC=180°-108°-2x=72°-2x，
∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，
∴∠COE+∠AOB=

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2

∠COF+

1

2

∠AOF=

1

2

∠AOC=

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2

×72°=36°，
∴72°-x+72°-2x=36°，
解得x=36°，
即∠OBA=36°，
此时，∠OEC=2×36°=72°，
∠COE=72°-2×36°=0°，
点C、E重合，
所以，不存在．

点评：本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键在于性质和判定方法的综合运用，难点在于（3）根据角度之间的关系列出方程．