Question

15．若a，b为实数，且b=$\frac{{\sqrt{{a^2}-4}+\sqrt{4-{a^2}}+1}}{a+2}$，
（1）求$\sqrt{a+b}$的值；
（2）若$\sqrt{a+b}$的值是关于x的一元二次方程x²-2x+k²+k=0的一个根；求k及另一个根．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式有意义的条件即可得出关于a的一元二次不等式组，解不等式组即可得出a的值，再由分母不为0即可确定a的值，将其代入b中求出b值，进而即可得出$\sqrt{a+b}$的值；
（2）将$\sqrt{a+b}$的值代入方程中即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k值，设方程另一个根为x₁，根据根与系数的关系即可得出关于x₁的一元一次方程，解方程即可得出方程的另一个根．

解答 解：（1）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-4≥0\\ 4-{a^2}≥0\end{array}\right.$，
解得：a=±2，
又∵a+2≠0，
∴a≠-2，
∴a=2，b=$\frac{1}{2+2}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\sqrt{a+b}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$．
（2）把$\sqrt{a+b}=\frac{3}{2}$代入方程x²-2x+k²+k=0中，得：$\frac{9}{4}-3+{k^2}+k=0$，
解得：k₁=$\frac{1}{2}$，k₂=-$\frac{3}{2}$．
设方程另一个根为x₁，则：${x_1}+\frac{3}{2}=2$，
解得：x₁=$\frac{1}{2}$．
答：k的值为$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$，方程的另一个根为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出a的值是解题的关键．