Question

13．已知等边△ABC中，边长AB=2，AC的中点为M，延长AB至D使AB=BD，连接MD交线段BC于点P，则tan∠MPC=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 根据梅涅劳斯定理得$\frac{AM}{MC}$•$\frac{AD}{BD}$•$\frac{BP}{CP}$=1，求得$\frac{BP}{CP}$=$\frac{1}{2}$，PB=$\frac{2}{3}$，PC=$\frac{4}{3}$，过M作MN⊥PC于N，解直角三角形求出CN=$\frac{1}{2}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得到PN=$\frac{5}{6}$，即可得到结论．

解答 解：∵DPM是△ABC的梅氏线，
∴由梅涅劳斯定理得：$\frac{AM}{MC}$•$\frac{AD}{BD}$•$\frac{BP}{CP}$=1，
即$\frac{1}{1}$•$\frac{4}{2}$•$\frac{BP}{CP}$=1，则$\frac{BP}{CP}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=2，
∴PB=$\frac{2}{3}$，PC=$\frac{4}{3}$，
过M作MN⊥PC于N，
∵∠C=60°，CM=1，
∴CN=$\frac{1}{2}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PN=$\frac{5}{6}$，
∴tan∠MPC=$\frac{MN}{PN}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{6}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了梅内劳斯定理和赛瓦定理，解直角三角形，熟练掌握定理的内容是解题的关键．