Question

12．已知：a、b、c为整数，且满足${（\frac{50}{27}）}^{a}$•${（\frac{18}{25}）}^{b}$•${（\frac{9}{8}）}^{c}$=8 试求a，b，c的值．

Answer 1

分析 根据积的乘方将式子变形为$\frac{{2}^{a}×{5}^{2a}}{{3}^{3a}}$×$\frac{{2}^{b}×{3}^{2b}}{{5}^{2b}}$×$\frac{{3}^{2c}}{{2}^{3c}}$=2³，再根据同底数幂的乘除法得到2^a+b-3c×3^2b+2c-3a×5^2a-2b=2³，再依此得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3c=3}\\{2b+2c-3a=0}\\{2a-2b=0}\end{array}\right.$，解方程组即可求解．

解答 解：${（\frac{50}{27}）}^{a}$•${（\frac{18}{25}）}^{b}$•${（\frac{9}{8}）}^{c}$=8，
$\frac{{2}^{a}×{5}^{2a}}{{3}^{3a}}$×$\frac{{2}^{b}×{3}^{2b}}{{5}^{2b}}$×$\frac{{3}^{2c}}{{2}^{3c}}$=2³，
2^a+b-3c×3^2b+2c-3a×5^2a-2b=2³，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3c=3}\\{2b+2c-3a=0}\\{2a-2b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=6}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故a的值是6，b的值是6，c的值是3．

点评 此题主要考查了积的乘方与幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．