Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点A出发沿射线AB以2m/s的速度移动；同时，点Q从点C出发沿边BC的延长线以1cm/s的速度移动．
（1）经过多长时间P，Q两点之间的距离与AC相等？
（2）连接PC，当点P运动多长时间时，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC？

Answer 1

分析 （1）设经过x秒P，Q两点之间的距离与AC相等，则PB=3-2x，BQ=4+x，利用勾股定理建立方程解答即可；
（2）设当点P运动a秒时，分两种情况PB=3-2a或PB=2a-3，CQ=a，根据三角形的面积计算公式建立方程解答即可．

解答 解：（1）设经过x秒P，Q两点之间的距离与AC相等，则PB=3-2x，BQ=4+x，由题意得
（3-2x）²+（4+x）²=3²+4²，
解得：x₁=$\frac{4}{5}$，x₂=0（舍去）
答：经过$\frac{4}{5}$秒P，Q两点之间的距离与AC相等．
（2）设当点P运动a秒时，当PB=3-2a，CQ=a时，由题意得
$\frac{1}{2}$×a（3-2a）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×4
此方程无解．
当PB=2a-3，CQ=a时，由题意得
$\frac{1}{2}$×a（2a-3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×4
解得：a₁=$\frac{3+\sqrt{57}}{4}$，a₂=$\frac{3-\sqrt{57}}{4}$（舍去）
答：当点P运动$\frac{3+\sqrt{57}}{4}$m时，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，利用勾股定理和三角形的面积建立方程是解决问题的关键．