Question

如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；
（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；
（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．

Answer 1

证明：（1）在边BC上截取BE=AB，连接DE，
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE，
∴△ABD≌△DBE，
∴AD=DE，∴∠A=∠BED，
∵∠A=100°，
∴∠BED=100°，
∵∠C=50°，
∴∠CDE=50°，
∴∠C=∠CDE，
∴DE=CE，
∵BC=BE+CE，
∴BC=BA+AD；

（2）如图，以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，
∴∠ACA′=∠ABD=20°，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACD'（SAS），
∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，
∴∠AD′C=60°，连接AA′，
∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，
∴A'D'=AD'，
∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，
即BC=BD+AD．
分析：（1）在边BC上截取BE=AB，可证明△ABD≌△DBE，则AD=DE，再证明出∠C=∠CDE，则DE=CE，从而得出BC=BA+AD；
（2）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，然后证明△ABD≌△ACD'，从而有AD=AD'，然后再证明∠D'A'A=∠A'AD'=30°，从而A'D'=AD'，所以BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是证明边或角相等的重要方法，本题作辅助线构建等边三角形是关键．