Question

【题目】如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是_____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到MN＝AB，再根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝4，由于AB＝AD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值．

解：作直径AD，如图，

∵点M、N分别是AC、BC的中点，

∴NM为△CAB的中位线，

∴MN＝AB，

∵AD为直径，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ADC＝∠ABC＝60°

∴CD＝AC＝2，

AD＝2CD＝4，

当AB＝AD时，AB的值最大，

∴AB最大值为4，MN的最大值为2．

故答案为：2．