Question

20．阅读与证明：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
传说古希腊毕达哥拉斯（约公元570年-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6，10…由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥1）表示．
任务：请根据以上材料，证明以下结论：
（1）任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；
（2）连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

Answer 1

分析 （1）第n个三角形数$\frac{n（n+1）}{2}$8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分别用n表示出第n-1，n个三角形数，进一步相加整理得出答案即可．

解答 证明：（1）∵第n个三角形数为$\frac{n（n+1）}{2}$个，
∴（$\frac{n（n+1）}{2}$×8+1
=4n+4n+1
=（2n+1）²
即任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数．
（2）∵第n-1个三角形数为$\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$个，第n个三角形数为$\frac{n（n+1）}{2}$个，
∴$\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{1}{2}$（n²-n+n²+n）
=n²，
即连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

点评 此题考查完全平方数，用字母表示出第n个三角形数，利用完全平方公式因式分解是解决问题的关键．