Question

如图，等腰直角三角形ABC，AC=BC，若∠DCE=45°，且CD交AB于点M，CE交AB的延长线于点N，记AM=x，MN=y，BN=z，问以x，y，z为边长的三角形是怎样的三角形？并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,旋转的性质

专题：

分析：把△BCN绕点C顺时针旋转90°得到△ACN′，连接MN′，根据旋转的性质可得AN′=BN，CN=CN′，∠NCN′=90°，再求出∠MCN′=45°，从而得到∠MCN′=∠DCE，然后利用“边角边”证明△MCN′和△MCN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MN′，再求出∠MAN′=90°，然后利用勾股定理列式即可．

解答：解：如图，把△BCN绕点C顺时针旋转90°得到△ACN′，连接MN′，
由旋转的性质得，AN′=BN，CN=CN′，∠NCN′=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠MCN′=90°-45°=45°，
∴∠MCN′=∠DCE，
在△MCN′和△MCN中，

CN=CN′ ∠MCN′=∠DCE CM=CM

，
∴△MCN′≌△MCN（SAS），
∴MN=MN′，
∵等腰直角△ABC中，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠CBN=180°-45°=135°，
∴∠MAN′=135°-45°=90°，
∴△AMN′是直角三角形，
∴AM²+AN′²=MN′²，
∴AM²+BN²=MN²，
即x²+z²=y²，
故以x，y，z为边长的三角形是直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理和勾股定理逆定理，利用旋转作辅助线构造成全等三角形和直角三角形是解题的关键．