Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2 与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ， 点A的坐标为 ， 点B的坐标为；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x+ ；（﹣2，2 ）；（1，0）
（2）

解：如图1，过A作AD⊥y轴于点D，

在y=﹣ x2﹣ x+2 中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2 ），

∴AC= = ，

由翻折的性质可知AN=AC= ，

∵△AMN为梦想三角形，

∴N点在y轴上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，

∵OD=2 ，

∴ON=2 ﹣3或ON=2 +3，

∴N点坐标为（0，2 ﹣3）或（0，2 +3）

（3）

解：①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∴△ACK≌△EFH（AAS），

∴FH=CK=1，HE=AK=2 ，

∵抛物线对称轴为x=﹣1，

∴F点的横坐标为0或﹣2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点横坐标为0时，则F（0， ），此时点E在直线AB下方，

∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2 ﹣ = ，即E点纵坐标为﹣ ，

∴E（﹣1，﹣ ）；

当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2 ），

∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5， ），

设E（﹣1，t），F（x，y），

则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2 ，

∴x=﹣4，y=2 ﹣t，

代入直线AB解析式可得2 ﹣t=﹣ ×（﹣4）+ ，解得t=﹣ ，

∴E（﹣1，﹣ ），F（﹣4， ）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣ ）、F（0， ）或E（﹣1，﹣ ）、F（﹣4， ）．

【解析】解：（1）∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+2 ，
∴其梦想直线的解析式为y=﹣ x+ ，
联立梦想直线与抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴A（﹣2，2 ），B（1，0），
【考点精析】掌握平行四边形的判定与性质和翻折变换（折叠问题）是解答本题的根本，需要知道若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．