【题目】对于一元二次方程
，如果方程有两个实数根
，
，那么
，
（说明：定理成立的条件
）.例如方程
中，
，所以该方程有两个不等的实数解.设方程的两根为，，那么
，
，请根据上面阅读材料解答下列各题：
（1）已知方程
的两根为、，求
的值；
（2）已知，是一元二次方程
的两个实数根，是否存在实数
，使
成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AB=2，求DC的长．
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【题目】如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC＝30°，AC 的延长线与过点 B 的⊙O 的切线相交于点 D，若⊙O 的半径 OC＝1，BD∥OC，则 CD 的长为（ ）
A. 1+
B. 
C. D. 
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【题目】某单位宿舍用电规定如下：如果每户一个月的用电量不超过
度，那么这个月只需要交10元电费，若超过度，则这个月除了要交10元电费外，超过的部分还要按
元交费，下表是某户5月份和6月份的用电和交费情况，求的值.
月份 | 用电量（度） | 交电费总数（元） |
5 | 80 | 25 |
6 | 45 | 10 |
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【题目】如图1，在正方形
中，对角线
与
相交于点
，
平分
，交于点
．
（1）.求证：
；
（2）.点
从点
出发，沿着线段
向点
运动（不与点重合），同时点
从点
出发，沿着
的延长线运动，点与的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点也随之停止运动．如图2，
平分
，交于点
，过点作
，垂足为
，请猜想
，
与
三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）.在（2）的条件下，当
，
时，求的长．
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【题目】如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A.（-2012，2）B.（-2012，-2）C.（-2013，-2）D.（-2013，2）
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【题目】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（2）若改变（1）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．
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【题目】暑假到了，即将迎来手机市场的销售旺季．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
甲 | 乙 | |
进价（元/部） | 4000 | 2500 |
售价（元/部） | 4300 | 3000 |
该商场计划投入15.5万元资金，全部用于购进两种手机若干部，期望全部销售后可获毛利润不低于2万元．（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）
（1）若商场要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排怎样的进货方案购进甲乙两种手机？
（2）通过市场调研，该商场决定在甲种手机购进最多的方案上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
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【题目】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A在直线DE上，过C点作CF⊥DE于F，过B点作BG⊥DE于G．
（1）发现问题：如图1，当B、C两点均在直线DE上方时，线段AG、BG和CF存在的数量关系是 ．
（2）类比探究：当△ABC绕点A顺时针旋转至图2的位置时，线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出你的猜想，并给予证明；
（3）拓展延伸：当△ABC绕点A顺时针旋转至图3的位置时，若CF＝1，AG＝2，请直接写出△ABC的面积．
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