【题目】我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(2)若改变(1)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明).
【答案】(1)四边形EFGH是菱形,理由见解析;(2)四边形EFGH是正方形,理由见解析
【解析】
(1)连接AC、BD,由PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD易证△APC≌△BPD(SAS),
故可得到AC=BD,再利用三角形的中位线可得EF=AC、FG=BD,EH=BD,GH=AC,易证EF=FG=GH=EH,故四边形EFGH是菱形;
(2)设AC、BD交点为O,AC与PD交于点M,AC与EH交于点N,
利用△APC≌△BPD,所以∠ACP=∠BDP,再根据∠CPD=90°故∠PDC+∠PCD=90°
易得∠ODC+∠OCD=90°,即∠COD=90°,即AC⊥BD,再利用中位线的性质∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,即可得到四边形EFGH是正方形.
(1)四边形EFGH是菱形,
如图,连接AC、BD,
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD,
在△APC和△BPD中,
,
∴△APC≌△BPD(SAS),
∴AC=BD,
∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点,
∴EF=AC、FG=BD,EH=BD,GH=AC,
∴EF=FG=GH=EH,
∴四边形EFGH是菱形;
(2)四边形EFGH是正方形,
设AC、BD交点为O,AC与PD交于点M,AC与EH交于点N,
∵△APC≌△BPD,
∴∠ACP=∠BDP,
∵∠CPD=90°
∴∠PDC+∠PCD=90°
∴∠ODC+∠OCD=90°
∴∠COD=90°
∴AC⊥BD
∵EH∥BD、AC∥HG,
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,
∵四边形EFGH是菱形,
∴四边形EFGH是正方形.
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【题目】如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为( )
A.y=(x+3)2
B.y=(x+3)2
C.y=(x﹣3)2
D.y=(x﹣3)2
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【题目】某校进行校园美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标,经测算:甲队单独完成这项工程需要60天,如果由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙合作24天完成.
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工一天,需要支付工程款3.5万元,乙队施工一天需要支付工程款2万元:如果规定在70天内完成这项工作,是由甲、乙两队单独完成省钱?还是由甲乙合作完成该工程省钱?
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【题目】对于一元二次方程,如果方程有两个实数根,,那么,(说明:定理成立的条件).例如方程中,,所以该方程有两个不等的实数解.设方程的两根为,,那么,,请根据上面阅读材料解答下列各题:
(1)已知方程的两根为、,求的值;
(2)已知,是一元二次方程的两个实数根,是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE的长为_____.
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【题目】复习课中,教师给出关于x的函数y=2kx2-(4k+1)x-k+1(k是实数).教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.学生思考后,黑板上出现了一些结论,教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选出如下四条:
①存在函数,其图象经过(1,0)点;
②存在函数,该函数的函数值y始终随x的增大而减小;
③函数图象有可能经过两个象限;
④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数.
其中正确的结论有 .
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是(____)
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【题目】如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论:①∠AED=∠ADC;② ;③ACBE=12;④3BF=4AC;其中正确结论的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在海面上生成了一股强台风,台风中心(记为点M)位于滨海市(记作点A)的南偏西15°,距离为 千米,且位于临海市(记作点B)正西方向千米处.台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动(假设台风在移动过程中的风力保持不变),距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭.
(1)滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭?请说明理由.
(2)若受到此次台风侵袭,该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时?
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