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【题目】我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

1)如图,点P是四边形ABCD内一点,且满足PAPBPCPD,∠APB=∠CPD,点EFGH分别为边ABBCCDDA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;

2)若改变(1)中的条件,使∠APB=∠CPD90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明).

【答案】(1)四边形EFGH是菱形,理由见解析;(2)四边形EFGH是正方形,理由见解析

【解析】

1)连接ACBD,由PAPBPCPD,∠APB=∠CPD易证△APC≌△BPDSAS),

故可得到ACBD,再利用三角形的中位线可得EFACFGBDEHBDGHAC,易证EFFGGHEH,故四边形EFGH是菱形;

(2)设ACBD交点为OACPD交于点MACEH交于点N

利用△APC≌△BPD,所以∠ACP=∠BDP,再根据∠CPD90°故∠PDC+PCD90°

易得∠ODC+OCD90°,即∠COD90°,即ACBD再利用中位线的性质∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC90°,即可得到四边形EFGH是正方形.

1)四边形EFGH是菱形,

如图,连接ACBD

∵∠APB=∠CPD

∴∠APB+APD=∠CPD+APD,即∠APC=∠BPD

在△APC和△BPD中,

∴△APC≌△BPDSAS),

ACBD

∵点EFG分别为ABBCCD的中点,

EFACFGBDEHBDGHAC

EFFGGHEH

∴四边形EFGH是菱形;

2)四边形EFGH是正方形,

ACBD交点为OACPD交于点MACEH交于点N

∵△APC≌△BPD

∴∠ACP=∠BDP

∵∠CPD90°

∴∠PDC+PCD90°

∴∠ODC+OCD90°

∴∠COD90°

ACBD

EHBDACHG

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC90°

∵四边形EFGH是菱形,

∴四边形EFGH是正方形.

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