Question

8．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后，BP=6cm 6cm，BQ=12cm12cm；
（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）经过几秒△BPQ的面积等于10$\sqrt{3}$cm²？
（4）经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；
（2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论；
（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可；
（4）由（3）求出△BPQ面积的函数表达式，利用二次函数的性质即可求解．

解答 解：（1）由题意，得
AP=6cm，BQ=12cm，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12-6=6cm．

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12-x，BQ=2x，
∴12-x=2×2x，
解得x=$\frac{12}{5}$，
当∠QPB=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12-x），
解得x=6．
答：6秒或$\frac{12}{5}$秒时，△BPQ是直角三角形；

（3）作QD⊥AB于D，
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB=$\frac{1}{2}$BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{（12-x）\sqrt{3}x}{2}$=10$\sqrt{3}$，
解得x₁=10，x₂=2，
∵x=10时，2x＞12，故舍去，
∴x=2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于10$\sqrt{3}$cm²．；

（4）∵△BPQ的面积=$\frac{（12-x）\sqrt{3}x}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+6$\sqrt{3}$x，
∴当x=$\frac{6\sqrt{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6时，△BPQ的面积最大，此时最大值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6²+6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$．
故答案为：6cm、12cm．

点评 本题考查了一元二次方程的应用，等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键．