Question

18．如图，菱形ABCD的边长为8，∠C=60°，E为CD中点，作∠AEG=60°，交BC于点F，交AB的延长线于点G，则线段BG的长为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 连结BD交AE于H，利用菱形的性质，得到△ABH∽△DEH，得到DH=$\frac{1}{3}BD$，根据∠C=60°，CD=BC，所以△BCD为等边三角形，所以DH=$\frac{8}{3}$，再证明△DEH∽△CFE，求出CF=6，BF=8-6=2，由AB∥CD，△BGF∽△CFE，得到$\frac{BG}{BF}=\frac{EC}{CF}$，即$\frac{BG}{2}=\frac{4}{6}$，所以BG=$\frac{4}{3}$．

解答 解：如图，连BD交AE于H，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，
∴△ABH∽△DEH，
∴$\frac{DH}{BH}=\frac{DE}{AB}$
即$\frac{DH}{BH}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
∴DH=$\frac{1}{2}$BH，
∴DH=$\frac{1}{3}BD$，
∵∠C=60°，CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=CD=BC=8，∠BDC=∠C=60°，
∴DH=$\frac{8}{3}$，
∵∠DEH+∠AEG+∠FEC=180°，
∠CFE+∠C+∠FEC=180°，∠AEG=∠C=60°，
∴∠DEH=∠CFE，
在△DEH和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠C}\\{∠DEH=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△DEH∽△CFE，
∴$\frac{DH}{DE}=\frac{EC}{CF}$
即$\frac{\frac{8}{3}}{4}=\frac{4}{CF}$
∴CF=6，
即BF=8-6=2，
∵AB∥CD，
∴△BGF∽△CFE，
∴$\frac{BG}{BF}=\frac{EC}{CF}$，
即$\frac{BG}{2}=\frac{4}{6}$，
∴BG=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的性质定理和判定定理，解决本题的关键是证明三角形相似．