Question

10．将直角边长为4的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-2，0）． 
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，设点P的横坐标为x，试用含x的代数式表示△APE的面积S，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意先求出点A、B、C的坐标，进而设此二次函数解析式为y=a（x+2）（x-4），再将点A（0，4）代入，进而得解；
（2）首先根据PE∥AB，可以得出△PCE∽△BCA，进而求出△PCE的面积，再用△PAC的面积减去△PCE的面积，据此即可得解．

解答 解：（1）由题意得，A（0，4），C（4，0），B（-2，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4）
解得a=-$\frac{1}{2}$．∴y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（2）如图，BC=4+2=6，OA=4，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×4$=12，
∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，∴$\frac{{S}_{△PCE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{{PC}^{2}}{B{C}^{2}}$，
即：$\frac{{S}_{△PCE}}{12}=\frac{（4-x）^{2}}{36}$，
∴S_△PCE=$\frac{1}{3}$（4-x）²=$\frac{1}{2}$ （4-x）×4-$\frac{1}{3}$（4-x）²
S=S_△PAC-S_△PCE=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$  （-2＜x＜4 ），
S=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（x-1）²+3
当x=1时，S有最大值为3．

点评 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定定理与性质定理，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出△PCE的面积是解题的关键．