Question

2．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，对几何图形作出代数解释和用几何图形的面积表示代数式恒等式是互逆的．课本上由拼图用几何图形的面积来验证了乘法公式，一些代数恒等式也能用这种形式表示，例如（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²就可以用图1或图2等图形的面积表示：
（1）填一填：请写出图3代表的代数恒等式：（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²；
（2）画一画：试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²；
（3）想一想：三种不同类型的长方形卡片（长宽如图4所示），若现有A类4张，B类4张，C类2张，要拼成一个正方形，则应多余出1张C型卡片；这样的卡片拼法表示了一个两数和的平方的几何意义，这个两数和的平方是（2m+n）²．

Answer 1

分析 （1）由题意，等号的左边表示的是长方形的面积，等号的右边表示的是长方形里面的小图形的面积和；故问题可求．
（2）由（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²可知，图形的两个边长为a+b和a+3b；里边的小图形有八个，一个面积为a²，4个面积为ab，3个面积为b²．
（3）假设应多余出1张A类卡片，则这三类卡片的面积为3m²+4mn+2n²，此式不为完全平方式，即不能拼成一个正方形；假设应多余出1张B型卡片，则这三类卡片的面积为4m²+3mn+2n²，此式不为完全平方式，即不能拼成一个正方形；假设应多余出1张C类卡片，则这三类卡片的面积为4m²+4mn+n²，此式为完全平方式，即能拼成一个正方形．

解答 解：（1）由题意，可得：（a+a+b）（b+a+b）=ab+a²+b²+a²+ab+ab+b²+ab+ab，
整理，得：（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²．
故答案为：：（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²．
（2）由（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²可知，图形的两个边长为a+b和a+3b；里边的小图形有八个，一个面积为a²，4个面积为ab，3个面积为b²．

（3）假设应多余出1张A类卡片，则这三类卡片的面积为3m²+4mn+2n²，此式不为完全平方式，即不能拼成一个正方形；假设应多余出1张B型卡片，则这三类卡片的面积为4m²+3mn+2n²，此式不为完全平方式，即不能拼成一个正方形；假设应多余出1张C类卡片，则这三类卡片的面积为4m²+4mn+n²，此式为完全平方式，即能拼成一个正方形．
（2m+n）²=4m²+4mn+n²，
故答案为：C，（2m+n）²．

点评 本题考查了完全平分公式的几何背景，本题的解答，须注意观察图形和等式的关系，规律：大长方形的面积=小图形的面积和．