Question

如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离　　　　　　cm．

　

Answer 1

　2　cm．

【考点】平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．

【专题】压轴题．

【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

【解答】解：因为OE=OF=EF=10（cm），

所以底面周长=10π（cm），

将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）

设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得：

10π=，

所以n=180°，

即展开图是一个半圆，

因为E点是展开图弧的中点，

所以∠EOF=90°，

连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，

在Rt△AOE中由勾股定理得，

EA²=OE²+OA²=100+64=164，

所以EA=2（cm），

即蚂蚁爬行的最短距离是2（cm）．

【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．