Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．

（1）求证：BC是⊙O切线；

（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．

　

Answer 1

【考点】切线的判定．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．

（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．

【解答】（1）证明：连接OD；

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠3．（1分）

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴∥AC．（2分）

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切线．（3分）

（2）解：过点D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：，（4分）

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．（5分）

∴．

∴．

∴AC=6．（6分）

【点评】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE的长，及相似三角形的性质．