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【题目】已知:如图,AB=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙OOC与点DAD的延长线交BC于点E,过D作⊙O的切线交BC于点F.下列结论:①CD2=CE·CB;②4EF 2=ED ·EA;③∠OCB=∠EAB;④.其中正确的只有____________________.(填序号)

【答案】

【解析】试题分析:先连接BD,利用相似三角形的判定以及切线的性质定理得出DF=FB,进而分别得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO,再根据相似三角形的性质分别分析即可得出答案.

①连接BD,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠DBE+∠3=90°,∵∠ABC=90°,

∴∠1+∠DBE=90°,∴∠1=∠3,又∵DO=BO,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,

∴∠CDB=∠CED,∵∠DCB=∠ECD,∴△CDE∽△CBD,∴,故①正确;

②∵过D作⊙O的切线交BC于点F,∴FD是⊙O的切线,∵∠ABC=90°,

∴CB是⊙O的切线,∴FB=DF,∴∠FDB=∠FBD,∴∠1=∠FDE,∴∠FDE=∠3,

∴DF=EF,∴EF=FB,∴EB=2EF,∵在Rt△ABE中,BD⊥AE,∴

,故②正确;

③∵AO=DO,∴∠OAD=∠ADO,假设③∠OCB=∠EAB成立,则∠OCB=0.5∠COB,

∴∠OCB=30°,而 ,与tan30°= 矛盾,

故③∠OCB=∠EAB不成立,故此选项错误;

④∵∠CDF=∠CBO=90°,∠DCF=∠OCB,∴△CDF∽△CBO,∴ ,∴

∵AB=BC,∴DF=0.5CD;故④正确.

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