Question

20．数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：
如图①，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：AP=CQ；
（2）如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明．
（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转到三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明∠ADP=∠CDQ，再根据三角形全等的判定定理证明△ADP≌△CDQ，得到答案；
（2）证明△PDE≌△QDE，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）根据AB：AP=3：4和AB=6，求出AP的长，根据全等三角形的性质求出CQ、DQ，根据角平分线的性质求出EQ的长，根据三角形的面积公式计算得到答案．

解答 证明（1）∵四边形ABCD正方形，
∴∠A=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADP+∠PDC=90°，
∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCQ}\\{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AP=CQ；
（2）∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠EDQ，
∵△ADP≌△CDQ，
∴DP=DQ，
在△PDE和△QDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{∠PDE=∠EDQ}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△QDE，
∴PE=EQ；
（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，则BP=2，
由勾股定理得，DP=10，
由（2）可知，CQ=AP=8，DQ=DP=10，
∵BP∥DC，
∴△PBH∽△DCH，
∴$\frac{BP}{CD}$=$\frac{BH}{CH}$=$\frac{PH}{DH}$，
∴DH=$\frac{15}{2}$，CH=$\frac{9}{2}$，则HQ=$\frac{25}{2}$，
∵DE是∠PDQ的平分线，
∴$\frac{HE}{EQ}$=$\frac{DH}{DQ}$，
∴$\frac{\frac{15}{2}}{10}$=$\frac{\frac{25}{2}-EQ}{EQ}$，
∴EQ=$\frac{50}{7}$，
则△DEQ的面积=$\frac{1}{2}×$6×$\frac{50}{7}$=$\frac{150}{7}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及角平分线的性质，灵活运用相关的定理是解题的关键，注意类比思想的正确运用．