Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，M是CD上的点，DH⊥BM于H，DH的延长线交AC的延长线于E．求证：
（1）△AED∽△CBM；
（2）AE•CM=AC•CD．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC是直角三角形，易得∠A+∠ABC=90°，而CD⊥AB，易得∠MCB+∠ABC=90°，利用同角的余角相等可得∠A=∠MCB，同理可证∠1=∠2，而∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，易证∠ADE=∠CMB，从而易证△AED∽△CBM；
（2）由（1）知△AED∽△CBM，那么AE：AD=CB：CM，于是AE•CM=AD•CB，再根据△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，易知△ACD∽△CBD，易得AC•CD=AD•CB，等量代换可证AE•CM=AC•CD．

解答 证明：（1）∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
即∠MCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠MCB，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠DMB=90°，
∵DH⊥BM，
∴∠1+∠DMB=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，
∴∠ADE=∠CMB，
∴△AED∽△CBM；

（2）∵△AED∽△CBM，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AD}{CM}$，
∴AE•CM=AD•CB，
∵△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：AD=CB：CD，
∴AC•CD=AD•CB，
∴AE•CM=AC•CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A=∠MCB以及∠ADE=∠CMB．