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【题目】如图,过x轴的垂线,分别交直线CD两点抛物线经过OCD三点.

求抛物线的表达式;

M为直线OD上的一个动点,过Mx轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以ACMN为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;

沿CD方向平移C在线段CD上,且不与点D重合,在平移的过程中重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;

2)由题意,可知MNAC,因为以ACMN为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3.设点M的横坐标为x,则求出MN=|x24x|;解方程|x24x|=3,求出x的值,即点M横坐标的值;

3)设水平方向的平移距离为t0t2),利用平移性质求出S的表达式:St12;当t=1时,s有最大值为

1)由题意,可得C13),D31).

∵抛物线过原点,∴设抛物线的解析式为:y=ax2+bx,∴,解得,∴抛物线的表达式为:yx2x

2)存在.

设直线OD解析式为y=kx,将D31)代入,求得k,∴直线OD解析式为yx

设点M的横坐标为x,则Mxx),Nxx2x),∴MN=|yMyN|=|x﹣(x2x|=|x24x|

由题意,可知MNAC,因为以ACMN为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3,∴|x24x|=3

x24x=3,整理得:4x212x9=0,解得:xx

x24x=3,整理得:4x212x+9=0,解得:x,∴存在满足条件的点M,点M的横坐标为:

3)∵C13),D31),∴易得直线OC的解析式为y=3x,直线OD的解析式为yx

如解答图所示,设平移中的三角形为△A'O'C',点C'在线段CD上.

O'C'x轴交于点E,与直线OD交于点P

A'C'x轴交于点F,与直线OD交于点Q

设水平方向的平移距离为t0t2),则图中AF=tF1+t0),Q1+tt),C'1+t3t).

设直线O'C'的解析式为y=3x+b,将C'1+t3t)代入得:b=4t,∴直线O'C'的解析式为y=3x4t,∴Et0).

联立y=3x4tyx,解得:xt,∴Ptt).

过点PPGx轴于点G,则PGt,∴S=SOFQSOEPOFFQOEPG

1+t)(ttt

t12

t=1时,S有最大值为,∴S的最大值为

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①求的值;

②当为何值时,W的值最小,试求出该最小值;

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①求的取值范围;

②求证: .

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(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

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A. aB. aC. D.

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