【题目】如图,过、作x轴的垂线,分别交直线于C、D两点抛物线经过O、C、D三点.
求抛物线的表达式;
点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;
若沿CD方向平移点C在线段CD上,且不与点D重合,在平移的过程中与重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.
【答案】(1);(2)或或;(3).
【解析】
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)由题意,可知MN∥AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3.设点M的横坐标为x,则求出MN=|x2﹣4x|;解方程|x2﹣4x|=3,求出x的值,即点M横坐标的值;
(3)设水平方向的平移距离为t(0≤t<2),利用平移性质求出S的表达式:S(t﹣1)2;当t=1时,s有最大值为.
(1)由题意,可得C(1,3),D(3,1).
∵抛物线过原点,∴设抛物线的解析式为:y=ax2+bx,∴,解得,∴抛物线的表达式为:yx2x.
(2)存在.
设直线OD解析式为y=kx,将D(3,1)代入,求得k,∴直线OD解析式为yx.
设点M的横坐标为x,则M(x,x),N(x,x2x),∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣(x2x)|=|x2﹣4x|.
由题意,可知MN∥AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3,∴|x2﹣4x|=3.
若x2﹣4x=3,整理得:4x2﹣12x﹣9=0,解得:x或x;
若x2﹣4x=﹣3,整理得:4x2﹣12x+9=0,解得:x,∴存在满足条件的点M,点M的横坐标为:或或.
(3)∵C(1,3),D(3,1),∴易得直线OC的解析式为y=3x,直线OD的解析式为yx.
如解答图所示,设平移中的三角形为△A'O'C',点C'在线段CD上.
设O'C'与x轴交于点E,与直线OD交于点P;
设A'C'与x轴交于点F,与直线OD交于点Q.
设水平方向的平移距离为t(0≤t<2),则图中AF=t,F(1+t,0),Q(1+t,t),C'(1+t,3﹣t).
设直线O'C'的解析式为y=3x+b,将C'(1+t,3﹣t)代入得:b=﹣4t,∴直线O'C'的解析式为y=3x﹣4t,∴E(t,0).
联立y=3x﹣4t与yx,解得:xt,∴P(t,t).
过点P作PG⊥x轴于点G,则PGt,∴S=S△OFQ﹣S△OEPOFFQOEPG
(1+t)(t)tt
(t﹣1)2
当t=1时,S有最大值为,∴S的最大值为.
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【题目】已知二次函数与一次函数,令W=.
(1)若、的函数图像交于x轴上的同一点.
①求的值;
②当为何值时,W的值最小,试求出该最小值;
(2)当时,W随x的增大而减小.
①求的取值范围;
②求证: .
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【题目】(10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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【题目】如图,抛物线y=ax-2x+c(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A,B,C三点,已知点(-2,0),C(0,-8),点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)如图,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将△EB直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,求点P的坐标;
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【题目】某工厂计划生产A、B两种产品共50件,需购买甲、乙两种材料.生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克;生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克.经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元,购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元,且生产B产品不少于28件,问符合条件的生产方案有哪几种?
(3)在(2)的条件下,若生产一件A产品需加工费200元,生产一件B产品需加工费300元,应选择哪种生产方案,使生产这50件产品的成本最低?(成本=材料费+加工费)
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【题目】如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求证:ED平分∠BEP.
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【题目】如图,边长为2a的等边三角形ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中,线段HN长度的最小值是( )
A. aB. aC. D.
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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F,作BH⊥AF于点H,分别交AC、CD于点G、P,连结GE、GF.
(1)试判断四边形BEGF的形状并说明理由.
(2)求的值.
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