Question

11．已知抛物线y₁=ax²+2x+c与直线y₂=kx+b交于点A（-1，0）、B（2，3）．
（1）求a、b、c的值；
（2）直接写出当y₁＜y₂时，自变量的范围是x＜-1或x＞2；
（3）已知点C是抛物线上一点，且△ABC的面积为6，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得；
（2）判断抛物线的开口，根据交点坐标即可求得；
（3）求得抛物线与x轴的交点M，则S_△ABM=6，从而判定M出即为C₁点，过M点作AB的平行线交抛物线于C₂，根据平行线的性质判定此时三角形ABC₂的面积=6，求得平行线与抛物线的交点，即为C点．

解答 解：（1）∵抛物线y₁=ax²+2x+c与直线y₂=kx+b交于点A（-1，0）、B（2，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2+c=0}\\{4a+4+c=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=1，c=3；
（2）∵a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴x＜-1或x＞2时，抛物线上的部分在直线的下方，
∴当y₁＜y₂时，自变量的范围是x＜-1或x＞2． 
故答案为 x＜-1或x＞2．    
（3）∵a=-1，b=1，c=3；
∴抛物线为y₁=-x²+2x+3，直线为y₂=x+1．
∵令-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴抛物线的另一个交点为M（3，0），
∴AM=4，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$AM×3=6，
∴C₁点与M的重合，
过M点作AB的平行线交抛物线于C₂，
此时三角形ABC₂的面积=6，
设平行线的解析式为y=x+n，
∵平行线经过（3，0），
∴平行线的解析式为y=x-3，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴C的坐标为（3，0）或（-2，-5）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式和直线的解析式，根据抛物线与x轴的交点，判断三角形的面积，利用平移的性质解题．