Question

19．如图，直线y=x+n与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于C，D两点，且BD•CB=6，则k=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由直线y=x+n与坐标轴交于A，B两点，得到A（n，0），B（0，-n），所以△ABO与△OBF是等腰直角三角形，由一元二次方程根与系数的关系得到点C，D的横纵坐标系之间的关系，根据BD•CB=6，列方程求解．

解答 解：∵直线y=x+n与坐标轴交于A，B两点，
∴A（n，0），B（0，-n），
∴OA=OB=n，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠CBE=∠BCE=45°，
∴∠FBD=45°，
∴FB=DF，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+n}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得x²+nx-k=0，
∴x₁•x₂=-k，∵x₁•y₁=k，x₂•y₂=k，
∴y₁=-x₂，y₂=-x₁，
∴BC=$\sqrt{2}$CE=${\sqrt{2}y}_{1}$，BD=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$Y₂=-$\sqrt{2}$x₁，
∴BD•BC=2x₁•y₁=2k=6，
∴k=3，
故选C．

点评 本题考查了利用反比例函数，一次函数的知识，等腰直角三角形的性质和判定，一元二次方程根与系数的关系等知识点．