【题目】如图,是的外接圆,AB为的直径,在外侧作,过点C作于点D,交AB延长线于点P.
(1)求证:PC是的切线;
(2)若,,求的半径;(用含m的代数式表示)
(3)如图2,在(2)的条件下,作弦CF平分,交AB于点E,连接BF,且,求线段PE的长.
【答案】:(1)详见解析;(2);(3)
【解析】
(1)连接OC,根据平行线的判定可得,从而得出,然后根据切线的判定定理即可证出PC是的切线;
(2)根据直径所对的圆周角是直角可得:∠ACB=90°,然后根据同角的余角相等相等可得,然后根据锐角三角函数可得,,根据勾股定理可得:,结合已知条件即可求出BC,从而求出AB,即可求出圆的半径;
(3)连接AF,OC,过C作,根据等腰三角形的判定及性质即可求出AB=10,从而求出BC、OC和AC,利用锐角三角函数即可求出CF,再根据相似三角形的判定及性质可求出EF和CE,从而求出CG、OG,根据射影定理可求出OP,然后根据勾股定理可求出EG,从而求出OE的长,即可求出线段PE的长.
解析:(1)如图,连接OC
∵,
∴
∴
∴
即PC为的切线;
(2)∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵∠BCP+∠ACD=180°-∠ACB=90°
∵∠DAC+∠ACD=90°
∴
∴
则,
根据勾股定理:
∴
又∵
∴,解得:,
∴,
∴半径为
(3)如图,连接AF,OC,过C作
∵,
∴
∴
又∵
∴为等腰直角三角形
∵
∴,
∴,,
如下图,在中
过B作
∵
∴
又∵,,
∴,
∴
又∵,
∴
∴
∴
即
中,,
解得:CG=4
则在中,,,
根据勾股定理可得:OG=
由射影定理,
∴
又∵,
∴,且
∴
∴
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【题目】二次函数y=mx2﹣(2m+1)x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点.
(1)求m的取值范围;
(2)若m取满足条件的最小的整数,当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是﹣6≤y≤24,求n的值.
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【题目】如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直线OB于E,D,连接EC,CD.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)试猜想BC,BD,BE三者之间的等量关系,并加以证明;
(3)若tan∠CED=,⊙O的半径为3,求OA的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,经过B,C两点的直线为.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为抛物线上的动点,过点P作x轴的垂线,交直线BC于点M,连接PC,若为直角三角形,求点P的坐标;
(3)当P满足(2)的条件,且点P在直线BC上方的抛物线上时,如图2,将抛物线沿射线BC方向平移,平移后B,P两点的对应点分别为,,取AB的中点E,连接,,试探究是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,直线AB与反比例函数y=(m>0)在第一象限的图象交于点C、点D,其中点C的坐标为(1,8),点D的坐标为(4,n).
(1)分别求m、n的值;
(2)连接OD,求△ADO的面积.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A、C分别在坐标轴上,点B的坐标为(4,2),直线交AB,BC分别于点M,N,反比例函数的图象经过点M,N.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在y轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.
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【题目】成都市某景区经营一种新上市的纪念品,进价为20元/件,试营销阶段发现;当销售单价是30元时,每天的销售量为200件;销售单价每上涨2元,每天的销售量就减少10件.这种纪念品的销售单价为x(元).
(1)试确定日销售量y(台)与销售单价为x(元)之间的函数关系式;
(2)若要求每天的销售量不少于15件,且每件纪念品的利润至少为30元,则当销售单价定为多少时,该纪念品每天的销售利润最大,最大利润为多少?
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c是常数)交于A、B两点,点A在x轴上,点B在y轴上.设抛物线与x轴的另一个交点为点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点(不与点A、B重合),
①如图2,若点P在直线AB上方,连接OP交AB于点D,求的最大值;
②如图3,若点P在x轴的上方,连接PC,以PC为边作正方形CPEF,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点E或F恰好落在y轴上,直接写出对应的点P的坐标.
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