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【题目】我们定义:在一个三角形中,如果一个角的度数是另一个角度数的3倍,那么这样的三角形我们称之为和谐三角形.如:三个内角分别为105°40°35°的三角形是和谐三角形

概念理解:如图1,∠MON=60°,在射线OM上找一点A,过点AABOMON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与OB重合)

1)∠ABO的度数为______,△AOB______(填不是和谐三角形

2)若∠ACB=80°,求证:△AOC和谐三角形

应用拓展:(3)如图2,点D在△ABC的边AB上,连接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上取点F,使∠EFC+BDC=180°,∠DEF=B.若△BCD和谐三角形,求∠B的度数.

【答案】130,是;(2)证明见解析;(3)∠B=36°或∠B=

【解析】

(1)根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数,根据和谐三角形的概念判断;

2)根据和谐三角形的概念证明即可;应用拓展:根据比较的性质得到∠EFC=ADC,根据平行线的性质得到∠DEF=ADE,推出DEBC,得到∠CDE=BCD,根据角平分线的定义得到∠ADE=CDE,求得∠B=BCD,根据和谐三角形的定义求解即可.

解:(1)∵ABOM

∴∠OAB=90°

∴∠ABO=90°-MON=30°

∵∠OAB=3ABO

∴△AOB和谐三角形

故答案为:30;是;

2)证明:∵∠MON=60°,∠ACB=80°

∵∠ACB=OAC+MON

∴∠OAC=80°-60°=20°

∵∠AOB=60°=3×20°=3OAC

∴△AOC和谐三角形

应用拓展:

∵∠EFC+BDC=180°,∠ADC+BDC=180°

∴∠EFC=ADC

ADEF

∴∠DEF=ADE

∵∠DEF=B

∴∠B=ADE

DEBC

∴∠CDE=BCD

AE平分∠ADC

∴∠ADE=CDE

∴∠B=BCD

∵△BCD和谐三角形

∴∠BDC=3B,或∠B=3BDC

∵∠BDC+BCD+B=180°

∴∠B=36°或∠B=

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