Question

已知：如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，C是弧AB的中点，弦CE∥BD，交AB于点F．求证：AE•FP=AF•CP．

Answer 1

证明：∵弦CE∥BD，
∴=，
∵=，
∴=，
∴∠E=∠C，
又∵∠AFE=∠PFC，
∴△AEF∽△PCF，
∴=
∴AE•FP=AF•CP．
分析：由CE与BD平行，利用平行弦所夹的弧相等得到弧BC=弧DE，由C为弧AB的中点，得到一对弧相等，等量代换得到弧AC与弧DE相等，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对对顶角相等，利用两对角相等的两三角形相似，得到三角形AEF与三角形PCF相似，由相似得比例，变形后即可得证．
点评：此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及圆心角、弦、弧之间的关系，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．