Question

18．如图，已知△ABD中，AB=AD=9，BD=3$\sqrt{5}$．
（1）请你按照下面的步骤画图（不写作法，保留作图痕迷）：
第一步：作AB的垂直平分线交AB于点O；
第二步：以点为圆心，OA为半径作⊙O交BD于点C；
第三步：过点C作AD的垂线，交AD于点E；
第四步：连接AC．
（2）求证：CE为⊙O的切线；
（3）求AE的长．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作线段的垂直平分线和过直线外一点作直线的垂线）依次画图；
（2）连结OC，由圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用等腰三角形的性质得BC=CD，则OC为△ABD的中位线，所以OC∥AD，由于CE⊥AD，则OC⊥CE，于是根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）先利用勾股定理计算出AC=$\frac{3\sqrt{31}}{2}$，再证明Rt△ACE∽Rt△ADC，然后利用相似比计算AE的长．

解答 （1）解：如图；
（2）证明：连结OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=AC，
∴AC垂直平分BC，
∴BC=CD，
∵OA=OB，
∴OC为△ABD的中位线，
∴OC∥AD，
∵CE⊥AD，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线；
（3）解：CD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，AD=9，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{31}}{2}$，
∵∠CAE=∠DAC，
∴Rt△ACE∽Rt△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{AE}{\frac{3\sqrt{31}}{2}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{31}}{2}}{9}$，
∴AE=$\frac{31}{4}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．