Question

3．根据给出的新定义，解答问题．
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1所示，BD、CE就是这个三角形的三分线．
（1）在图1中，若AB=2，CD=2-$\sqrt{2}$．
（2）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B=2α，请画出△ABC的三分线，并求出两条三分线的长．

Answer 1

分析 （1）根据△ADB为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AD，则CD=AC-AD，即可解答；
（2）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；
（3）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE=AD=x，BD=CD=y，得出方程组，解方程组即可．

解答 解：（1）∵∠CDE=90°，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD²+AB²=2²．
∴2AD²=4
解得：AD=$\sqrt{2}$，
∵AC=AB=2，
∴CD=AC-AD=$2-\sqrt{2}$．
故答案为：2-$\sqrt{2}$；
（2）如图2作图，
      
（3）如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．                     

∵∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y=2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x=（x+y）：2，
所以联立得方程组$\left\{\begin{array}{l}{x：y=2：3}\\{2：x=（x+y）：2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}\sqrt{10}}\\{y=\frac{3}{5}\sqrt{10}}\end{array}\right.$．
即三分线长分别是$\frac{2}{5}\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}\sqrt{10}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定与性质、解方程组等知识；解决本题的关键是作出图形．