Question

8．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（4，-6），B（8，-2）．
（1）若P（0，p）是y轴上的一个动点，则当p=-$\frac{14}{3}$时，△PAB的周长最短；
（2）若C（0，b），D（0，b+6）是y轴上的两个动点，则当b=-$\frac{20}{3}$时，四边形ABDC的周长最短；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0），N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=5，n=-$\frac{10}{3}$，（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设出并找到B（4，-1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，则A′的坐标为（-4，-6），把A′向上平移6个单位得到点B'（-4，0），连接BB′，与y轴交于点D，易得四边形A′B′DC为平行四边形，得到CA′=DB′=CA，则AC+BD=BB′，根据两点之间线段最短得到此时AC+BD最小，即四边形ABDC的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=-$\frac{1}{6}$x-$\frac{2}{3}$，易得D点坐标为（0，-$\frac{2}{3}$），则有b-6=-$\frac{20}{3}$，即可求出b的值；
（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=$\frac{5}{2}$，n=-$\frac{10}{3}$时成立．

解答 解：（1）设点B（8，-2）关于y轴的对称点是B'，其坐标为（-8，-2），
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A（4，-6），B'（-8，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=-6}\\{-8k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{14}{3}$，
令x=0得x=-$\frac{14}{3}$，
即p=-$\frac{14}{3}$．
故答案为：-$\frac{14}{3}$；

（2）作点A关于y轴的对称点A′，则A′的坐标为（-4，-6），把A′向上平移6个单位得到点B'（-4，0），连接BB′，与y轴交于点D，如图，
∴CA′=CA，
又∵C（0，b），D（0，b+6），
∴CD=，6，
∴A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此时AC+BD最小，
∵CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B（8，-2）、B'（-4，0）分别代入得，
8k+b=-2，-4k+b=0，
解得k=-$\frac{1}{6}$，b=-$\frac{2}{3}$，
∴直线BB′的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x-$\frac{2}{3}$，
令x=0，则y=-$\frac{2}{3}$，
∴D点坐标为（0，-$\frac{2}{3}$），
∴b-6=-$\frac{2}{3}$，
∴b=-$\frac{20}{3}$；
故答案为：-$\frac{20}{3}$．

（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，
作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，
∴A′（-4，-6），B′（8，2），
∴直线A′B′的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$，
∴M（5，0），N（0，-$\frac{10}{3}$）．
∴m=5，n=-$\frac{10}{3}$．
故答案为：5，-$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．