Question

13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线过y=ax²+bx+c（a≠0）点A．
（1）求c的值；
（2）若a=-1，且抛物线与矩形有且只有三个交点，A，D，E，求△ADE的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把（0，3）代入函数解析式y=ax²+bx+c中，易求c；
（2）当a=-1时，函数解析式是y=-x²+bx+3，然后求得D点坐标是（b，3），E点坐标是（6，6b-33），分别把D、E的坐标代入y=-x²+bx+3中，结合三角形面积公式，易得S=-3b²+18b，求关于b的二次函数的最大值即可．

解答 解：（1）把（0，3）代入函数解析式y=ax²+bx+c中，得c=3；

（2）若a=-1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，
则D、E分别在线段AB、BC上，或分别在AB、OC上，
若D、E分别在线段AB、BC上，
在y=-x²+bx+3中，令y=3，得x²-bx=0，解得：x=0或x=b，故D（b，3），
令x=6，得：y=6b-33，故E（6，6b-33），
∵0≤6b-33＜3，
∴$\frac{11}{2}$≤b＜6，
又∵AD=|b|=b，EB=|3-（6b-33）|=36-6b，
△ADE的面积S=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$b（36-6b）=-3b²+18b=-3（b-3）²+27，
则当b=$\frac{11}{2}$时，S有最大值$\frac{33}{4}$．
若D、E分别在AB、OC上，见备用图，
△ADE的面积S=$\frac{1}{2}$AD•BE=$\frac{1}{2}$b•3=$\frac{3}{2}$b，
∵抛物线的对称轴为：x=$\frac{b}{2}$，
当过点C时，抛物线为：y=-x²+$\frac{11}{2}$x+3，
∴0＜$\frac{b}{2}$≤$\frac{11}{4}$，
∴当b=$\frac{11}{2}$时，S有最大值$\frac{33}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解题的关键是理解题意，并能画出草图，利用线段垂直平分线的性质、解方程组、两点之间的距离公式来解决问题．