Question

1．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．

（1）探究：
如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC．试证明：PA＜PC．
（2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．
解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，故点A′在以AD为直径的圆上．（请继续完成解题过程）
（4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成）
①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是$\sqrt{5}$-1．
②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（-2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于$\sqrt{74}$-3．

Answer 1

分析 （1）利用三角形三边关系结合圆的性质得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出AO长，进而得出答案；
（3）利用已知点A′在以AD为直径的圆上，得出当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，进而得出BM的长，即可得出答案；
（4）①根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小；
②作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．

解答 （1）证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO=PA+OA，OA=OC，
∴PA＜PC，
∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离；

（2）解：连接AO与⊙O相交于点P，如图3，由已知定理可知，
此时AP最短，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，BC为直径，
∴PO=CO=1，
∴AO=$\sqrt{A{C}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AP=$\sqrt{5}$-1，
故答案为：$\sqrt{5}$-1；

（3）解：如图4，由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，
故点A′在以AD为直径的圆上，
由模型可知，当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，
∵边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，
∴BM=$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
故A′B的最小值为：$\sqrt{3}$-1；

（4）①解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD-OH=$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$\sqrt{5}$-1；

②解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图6，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（-2，3），
∴点A′坐标（-2，-3），
∵点B（3，4），
∴A′B=$\sqrt{（3+2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∴MN=A′B-BN-A′M=$\sqrt{74}$-2-1=$\sqrt{74}$-3，
∴PM+PN的最小值为$\sqrt{74}$-3．
故答案为：$\sqrt{74}$-3．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、三角形的三边关系及圆的性质，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．